[Mathematics] - Linear Algebra14 # 7. 선형 변환 (Linear Transform) 이론 함수는 정의역(Domain)과 공역(Codomain)간의 1대 1 mapping 관계를 의미한다. 함수는 크게 선형함수와 비선형함수로 분류할 수 있다. 선형함수는 말그대로 기하학적으로 Linear한 형태의 함수를 의미한다. 선형함수에 해당하기 위한 조건은 다음과 같이 2가지가 있다. 이제 함수에 대해 간단하게 짚었으니, 변환(transformation)에 대해 알아볼 차례이다. 변환은 입출력이 벡터인 함수를 의미한다. 특히, 입력 벡터와 출력 벡터의 차원이 동일한 경우 ($n$-벡터와 $m$-벡터에 대해 $n=m$인 경우) 변환이라 칭하지 않고 연산자(operator)라고 한다. 선형시스템에서 행렬 A는 ($m \times n$ 행렬) $n$-벡터를 입력으로 받아 $m$-벡터를 출력으로 하는 변환(.. 2021. 9. 23. # 6. 좌표계 변환 (Change of Basis) 이론 이번 포스팅에서는 직교 좌표계 변환에 대해 알아볼 것이다. 흔히 우리가 학생때 서로 수직인 X, Y 축을 통해 좌표를 표현하는 것은 직교 좌표계 (orthogonal coordinate system)이라고 한다. 그 밖에도 다른 좌표계에 대한 설명이 궁금하면 해당 링크를 참고하면 된다. 우선 앞에서 다루었던 선형 시스템의 공식을 되짚어보면 Ax = b 의 형태를 지닌다. 우리는 해당 선형시스템으로부터 A를 좌표계로, x를 해당 좌표계에 속한 특정 좌표값으로 해석하고 변환하는 것이 이번 포스팅의 목표이다. 좌표계 변환을 배우기 이전에 벡터에 대해 간단하게 짚고 넘어가자. 벡터의 물리적 표현과 수학적 표현에 대해서 알아볼 것이다. 물리적 표현 벡터는 방향과 크기(스칼라)를 동시에 지닌 개념으로 물리적으.. 2021. 9. 23. # 5. 열 공간 (Column Space) 이론 행렬 A의 열 벡터들에 대한 가능한 모든 선형 조합(Ax)의 결과를 모아 집합으로 구성할 수 있을 것이다. 이를 집합을 열 공간이라고 한다. 열 공간은 다음과 같이 표기한다. - Consistent Linear System 선형 시스템 Ax = b가 해를 가지면 다음을 만족한다. - Inconsistent Linear System 선형 시스템 Ax = b의 해가 없으면 다음을 만족한다. 위의 행렬의 열 공간은 3차원 공간이다. 세 개의 열 벡터가 존재하기 때문에 3가지 방향으로 갈 수 있기 때문이다. 따라서, 어떤 3-벡터 b를 이용해 선형 시스 Ax = b를 구성한다고 하더라도, 해당 선형 시스템의 해는 존재한다. (Consistent Linear System) 반면 위 행렬의 열 공간은 xy-평.. 2021. 6. 20. # 4. 선형 조합 (Linear Combination) https://dev-ryuon.tistory.com/45?category=943371 # 0. 선형 시스템 (Linear System) [이론] 중고등학교때 다들 '함수'라는 개념은 익히 알고있을 것이다. 함수는 방정식으로써 표현이 가능하고, 미지수가 적을 경우 수기로도 충분히 해를 구할 수 있다. 하지만, 방대한 양의 데이 dev-ryuon.tistory.com 이 포스트는 선형 시스템에 대해 숙지하고 보시는 것을 추천합니다. 이론 선형 조합을 이해하기 이전에 행렬을 구조적으로 보는 시점이 중요하다. 위 그림과 같이 행렬을 열 벡터의 집합으로 해석할 수 있다. 그 뜻은 행 단위로도 묶어서 해석할 수 있다. 하지만 보통은 열 벡터로 해석한다. 이제, 선형 시스템 Ax를 구조적으로 볼 수 있는 시야를 가.. 2021. 6. 18. # 3. 행렬 연산 (Matrix Operations) 이번 포스트에서는 행렬의 간단한 표기법들과 종류, 연산들에 대해 알아볼 예정이다. 이론 행렬의 표기법 m x n 행렬은 다음과 같이 표기한다. 그리고 행렬의 i번째 행의 j번째 열의 요소는 다음과 같이 표기한다. 행렬의 종류 - 전치 행렬 (Transpose Matrix) 전치행렬은 특정행렬의 행과 열을 바꾼 행렬이다. i번째 행의 j번째 열의 요소는 j번째 행의 i번째 열의 요소와 자리가 바뀐다. 위와 같은 행렬이 존재한다고 가정하자. A의 전치행렬은 다음과 같다. - 영 행렬 (Zero Matrix) 모든 요소가 0으로 이루어진 행렬을 의미한다. 영 행렬은 행렬 덧셈 연산에 대한 항등원 역할을 한다. - 정방 행렬 (Square Matrix) 행과 열의 갯수가 동일한 행렬을 의미한다. - 항등 행렬 .. 2021. 6. 18. # 2. LU 분해 (LU Decomposition) https://dev-ryuon.tistory.com/46 # 1. 가우스 소거법 (Gauss Elimination) [서론] 선형 시스템은 해를 가지는 케이스가 총 3가지로 나누어진다. 1. 해가 하나인 경우 - x=2 인경우에만 성립한다. ex) 3x = 6 2. 해가 여러개인 경우 - 어떠한 x를 대입하더라도 성사된다. ex) 0x = 0 dev-ryuon.tistory.com 이 포스트는 가우스 소거법에 대해 숙지하고 보시는 것을 추천합니다. 이론 LU 분해는 Gauss Elimination 을 행렬이라는 자료구조로 표현한 것을 의미한다. 숫자는 인수분해가 가능하다. 행렬도 숫자와 마찬가지로 분해가 가능하다. 행렬을 분해하는 방법에는 대표적으로 세 가지가 있다. LU Decomposition QR.. 2021. 6. 13. 이전 1 2 3 다음
