# 6. 좌표계 변환 (Change of Basis)

이론

이번 포스팅에서는 직교 좌표계 변환에 대해 알아볼 것이다. 흔히 우리가 학생때 서로 수직인 X, Y 축을 통해 좌표를 표현하는 것은 직교 좌표계 (orthogonal coordinate system)이라고 한다. 그 밖에도 다른 좌표계에 대한 설명이 궁금하면 해당 링크를 참고하면 된다.

 

우선 앞에서 다루었던 선형 시스템의 공식을 되짚어보면 Ax = b 의 형태를 지닌다. 우리는 해당 선형시스템으로부터 A를 좌표계로, x를 해당 좌표계에 속한 특정 좌표값으로 해석하고 변환하는 것이 이번 포스팅의 목표이다.

 

좌표계 변환을 배우기 이전에 벡터에 대해 간단하게 짚고 넘어가자. 벡터의 물리적 표현과 수학적 표현에 대해서 알아볼 것이다.

 

물리적 표현

벡터는 방향과 크기(스칼라)를 동시에 지닌 개념으로 물리적으로는 화살표를 통해 그린다. 이는 추상적으로써 이해하기에는 직관적이지만 programmable하지는 않다.

 

수학적 표현

물론 벡터의 덧셈같은 연산을 이해하기 위해 그림으로 표현하는 경우가 있지만 이러한 벡터들을 수치적으로 표현할 수 있어야 한다. 그래서 좌표계를 먼저 도입한 뒤 벡터의 시작점을 원점을 기준으로 하고, 벡터의 끝점의 좌표를 벡터의 방향과 크기로써 정의한다.
화살표의 길이 : 벡터의 크기
화살표의 방향 : 벡터의 방향 (방향벡터)

 

벡터를 표현할줄 안다면 이제 좌표계에 대해서 볼 차례이다. 우리는 벡터를 좌표계를 통해 표현하기 때문이다. 

예를 들어 임의의 2-벡터가 주어져 있다고 가정하자. 이 벡터는 XY-평면상에 원점(0, 0)에서 (a, b)에 끝나는 벡터를 의미한다. 여기에는 실제로 좌표계(단위행렬)가 숨겨져 있다. 이 단위행렬은 XY-직교좌표계를 의미한다. ([1, 0], [0, 1]을 기저벡터로 하는 좌표계) 그리고 새롭게 표현된 선형 시스템은 (A가 단위행렬인) 선형 조합의 형태로도 표현이 가능하다.

 

선형시스템에서의 벡터 표현

 

직교하지 않는 좌표계

 

하지만 좌표계가 무조건 직교할 필요는 없다. 좌측 하단의 v1, v2 벡터를 기저(기초가 되는)로 하는 좌표계가 있을 수도 있다. v 벡터는 v1을 4번, v2를 3번 이동한 방향으로 향한다. 즉, 해당 벡터 v는 v1, v2를 기저로 하는 좌표계에서 (4, 3)의 좌표값을 가지게 된다.

 

좌표계 변환

 

해당 벡터 v를 직교 좌표계로 옮긴 결과 (8, 6.5)의 값을 가지게 된다. 우리가 이 포스트의 제목처럼 v1, v2를 기저로 하는 좌표계에서 [1, 0], [0, 1]를 기저로 하는 직교 좌표계로 변환한 것이다. 이제 좌표계를 변환하는 방법에 대해 알아볼 차례이다.

 

결론부터 이야기 하자면 변환한 좌표계 행렬에 대한 역행렬을 변환해야하는 좌표계 행렬에 곱하면 된다. 

 

좌표계 변환

 

좌항의 v1, v2를 기저로 하는 좌표계에서 (4, 3)은 e1 [1, 0], e2 [0, 1] 를 기저로 갖는 직교 좌표계에서 (a, b)의 값을 갖는다.