# 8. QR 분해 (QR Decomposition) - 1

QR 분해의 내용은 두 포스팅에 걸쳐서 진행하겠습니다.

 

벡터의 물리적, 수학적 정의

QR 분해는 정방 행렬($A_{m \times m}$)을 분해하는 방법 중 하나로 투영(projection)을 기반으로 하는 알고리즘인 그람 슈미트 과정(Gram-Schmidt Process)로 진행한다. 고로 투영을 이해하기 위해 기본적으로 벡터의 정의부터 파악하려고 한다. 벡터를 물리적으로 정의하면 방향과 스칼라의 조합이다. 벡터 v의 방향은 화살표의 방향, 크기(스칼라 형태)는 화살표의 길이를 의미한다.

 

벡터의 수학적인 정의는 수들의 집합이며 각 수들은 각 축에 대한 좌표값이다. 예를 들어, 벡터 v = (1, 2, 3) 이리면 원점으로부터 x축으로는 1, y축으로는 2, z축으로는 3의 지점을 향하는 화살표이다. 수들의 갯수가 늘어날수록 차원이 늘어난다고 해석할 수 있겠다. 벡터 v의 크기는 각 요소들의 제곱의 합(스칼라 형태), 크기는 해당 벡터의 각 요소에 벡터의 크기를 나눈것이다. 즉, v의 방향 벡터가 나오는데 이 방향벡터의 크기는 1이다. (단순히 방향만을 표기하기 위함, 벡터의 크기에 대한 정보는 미포함)

 

벡터의 내적

벡터의 내적은 벡터를 피연산자로 곱하는 연산이라 생각하면 된다. 벡터의 내적을 물리적으로 표현할 경우 각 벡터의 크기와 사잇각으로 코사인을 취하여 곱한다. 이는 수학적으로 표현하면 두 벡터사이의 각 요소들의 곱의 합이다.

 

벡터의 직교

그러나 두 벡터가 직교한다면 내적값은 0이 된다. 물리적으로 표현한 식을 보았을 때, cos90은 0이 되기 때문이다. 위 이미지에서 u 방향으로의 전진은 v 방향에서 측정되지 않는다고 하는 말은 직교 좌표계를 예시로 들면 이해하기 쉽다. 벡터로 생각해보았을 때 u 방향이 x축, v 방향이 y축이라 가정하면, x축으로 벡터가 증가하더라도 y값에는 영향을 끼치지 않는다.

 

벡터의 투영

벡터의 투영을 직관적으로 설명하자면 벡터 u를 벡터 a에 수선의 발을 내려 해당 지점으로 향하는 것을 의미한다. 즉 투영벡터 $proj_{a}u$는 해당 지점을 향하는 벡터라고 생각하면 되겠다. 투영 벡터의 길이와 방향에 대해 알아볼 차례이다.

 

벡터의 내적

위에서 두 벡터 사이의 내적은 다음과 같이 정의했다. 

 

길이

방향

투영 벡터의 길이와 방향은 다음과 같이 정의할 수 있다. 내적을 사용하면 길이는 벡터 u에 코사인을 취한것으로 정의할 수 있다. 방향은 벡터 a의 방향이 곧 투영 벡터의 방향이다. 보완 벡터는 벡터 u와 투영 벡터 사이의 벡터이므로 $u - proj_{a}u$로 정의할 수 있다. 보완 벡터는 투영 벡터와 직교한다.

 

보완 벡터와 투영 벡터는 직교하는 성질을 이용해 벡터 u를 벡터 w1(투영 벡터) 와 벡터 w2(보완 벡터)로 QR 분해할 수 있다.

 

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