선형 시스템 (Linear System)

이론

중고등학교때 다들 '함수'라는 개념은 익히 알고있을 것이다. 함수는 방정식으로써 표현이 가능하고, 미지수가 적을 경우 수기로도 충분히 해를 구할 수 있다. 하지만, 방대한 양의 데이터들의 상관관계를 수학으로 표현하기란 쉽지 않다. 

 

우리는 이러한 상관관계를 파악하고 해를 구하기 위해 선형 시스템이라는 개념을 숙지해야 한다. 선형 시스템이란 선형 방정식 (Linear Equation)들의 집합이다. 선형 방정식은 말 그대로 직선형태의 함수 즉, 1차 함수 방정식을 의미한다.

 

예를 들어보자. 

 

$3x + y + z = 4$

$x - 2y - z = 1$

$x + y + z = 2$

 

다음과 같이 세 가지 방정식이 있다. 각각의 방정식은 Linear Equation이 된다. 그리고 미지수(Unknow, Variable)는 총 3가지(x, y, z)가 있다. 이처럼 3개의 선형 방정식과 3개의 미지수로 구성되어 있으면 3 x 3 선형 시스템이라고 표현한다.

 

우리는 선형 시스템을 효율적으로 해결하기 위해서는 대수적으로 표현할 필요가 있다.

위 선형 시스템을 대수적으로 표현하면 다음과 같다.

 

대수적 표현

 

우리는 해당 선형 시스템에 대한 해인 $x$, $y$, $z$를 구하기 위해서 행렬 A의 역행렬을 양변에 곱하면 된다.

 

A의 역행렬을 양변에 행렬곱

코드

import numpy as np
import numpy.linalg as lin

# 선형 시스템 A
A = np.array([[3, 1, 1],
             [1, -2, -1],
             [1, 1, 1]])
b = np.array([4, 1, 2])

# A의 역행렬
A_inv = lin.inv(A)
# 해
x = np.matmul(A_inv, b)

print(x)

>>
[ 1. -1.  2.]

 

참고

https://rfriend.tistory.com/380

[Python NumPy] 선형대수 함수 (Linear Algebra)