고유값분해2 # 9. 고유값 분해 (Eigen-value Decomposition) - 2 저번 포스트에서는 고유값과 고유벡터에 대해서 알아보았다. 이번 포스트에서는 실제로 행렬 A에 대해 고유값 분해를 하는 과정에 대해 알아보겠다. 우선, $n \times n$ 행렬 A에 대해 고유값과 그에 대응하는 고유벡터들을 구해야한다. 그리고 고유벡터들($v_i$)을 모아둔 행렬 $V$를 다음과 같이 정의할 수 있다. 두 번째 식에 각각의 열벡터(고유벡터)에 해당하는 고유값을 곱해보자. 그 결과 행렬 A와 V로 위와 같이 표현할 수 있다. 마지막으로 고유값들을 대각성분에 모아둔 행렬을 보자. 네 번째 식을 통해 AV 행렬을 인수분해가 가능하다. 다섯번째 식에서 각 열벡터(행렬 V의 고유벡터)들이 선형독립이라면 아래와 같이 행렬 A를 표현할 수 있다. 사실 아직 행렬 A를 분해하는 의미를 설명하지 않았다.. 2021. 11. 23. # 9. 고유값 분해 (Eigen-value Decomposition) - 1 고유값 분해를 다루기 이전에 고유값과 고유벡터의 개념에 대해서 먼저 다루려고 한다. 먼저 이 포스트를 보기 이전에 선형변환에 대한 개념을 숙지하고 보는 것을 추천한다. 우리는 선형변환을 하나의 함수로써 생각했다. 예를 들어 임의의 벡터 x를 행렬 A의 선형변환 연산을 취했을 경우, 또 다른 벡터가 나오는 것처럼.. 보통은 선형변환을 통해 크기와 방향 모두 바뀐다. 하지만, 우리가 이번에 다룰 선형변환은 크기만 바뀌는 경우에 대해서만이다. 그렇다면, 고유값과 고유벡터는 어떤 의미를 지닐까? 고유값은 방향이 변하지 않은 벡터에 대해 어느정도 크기가 바뀌었는가의 의미이고, 고유벡터는 해당 고유값에 대응하는 벡터 x를 의미한다. 수학적으로는 다음과 같이 정의할 수 있다. 위 식을 이항하면 다음과 같이 표현할 수.. 2021. 11. 23. 이전 1 다음
